Para la introducción formal al estudio de los números reales, se parte del conocimiento que el lector tenga de las operaciones binarias de adición y multiplicación, por las cuales a cada pareja de números reales se les asocia un número real llamados suma (+) y producto (x) respectivamente; y que además está familiarizado con el uso del símbolo igual (=). Estos conceptos que se aceptan sin definir, el lenguaje de la lógica y las palabras de nuestro idioma usadas comúnmente, constituyen el lenguaje básico de los números reales (R).
PROPIEDADES DE IGUALDAD
Los axiomas de la igualdad (que rigen el uso del símbolo =) son:
Para todo a, b y c incluidos en R
1. Propiedad reflexiva: Todo número real es igual a si mismo.
a = a
Ejemplos:
3 = 3 - 2 = - 2 1/2 = 1/2
2. Propiedad simetrica: Los miembros de una igualdad pueden permutar sus lugares.
Si a = b entonces b = a
Ejemplo:
Si 2/1 = 2 entonces 2 = 2/1
3. Propiedad transitiva: Si dos igualdades tienen un miembro comun, los otros dos tambien son iguales.
Si a = b y b = c entonces a = c
Ejemplo:
Si 1/2 = 2/4 y 2/4 = 3/6 entonces 1/2 = 3/6
PROPIEDADES DE CAMPO
Para todo a, b y c incluidos en R
1. Propiedad de cerradura: Si dos numeros reales se suman o se multiplican, el resultado es otro numero real.
a + b = R ab = R
Ejemplos:
7 + 4 = 11 à R 7 x 4 = 28 à R
2. Propiedad conmutativa: En una suma el orden de los sumandos no altera el resultado y en una multiplicación el orden de los factores no altera el producto.
a + b = b + a ab = ba
Ejemplos:
4 + 7 = 7 + 4 4 x 7 = 7 x 4
11 = 11 28 = 28
3. Propiedad asociativa: En una suma o multiplicacion de mas de dos numeros, estos pueden agruparse entre ellos sin que se altere el resultado.
a + (b + c) = (a + b) + c a (bc) = c (ab)
Ejemplos:
2 + (4 + 5) = (2 + 4) + 5 2 x (4 x 5) = (2 x 4) x 5
2 + 9 = 6 + 5 2 x 20 = 8 x 5
11 = 11 40 = 40
4. Propiedad distributiva: El resultado de una suma multiplicada por un número es el mismo que si el número se multiplica por cada uno de los sumandos.
a (b + c) = ab + ac
Ejemplo:
2 (3 + 5) = 2 (3) + 2 (5)
2 (8) = 6 + 10
16 = 16
5. Existencia del identico: Si se suma cero a cualquier número, el resultado es el mismo, de igual forma todo numero multiplicado por uno es igual a si mismo.
a + 0 = a 1a = a
Ejemplos:
2 + 0 = 2 2 x 1 = 2
6. Existencia del inverso: Si a un número se le resta el mismo número el resultado es cero (inverso aditivo), de igual forma todo número dividido entre si mismo dará como resultado uno (inverso multiplicativo).
a - a = 0 a/a = 1
Ejemplos:
6 - 6 = 0 6/6 = 1
PROPIEDADES DE ORDEN
Para todo a, b y c incluidos en R
1. Axioma de comparación: Una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a < b a = b a > b
Ejemplos:
2 < 4 4 = 4 7 > 4
2. Propiedad transitiva: Si un numero es menor que otro y entre ellos el numero mayor es menor que otro mas grande, entonces el primero sera menor que este ultimo.
Si a < b y b < c entonces a < c
Ejemplo:
Si 2 < 4 y 4 < 7 entonces 2 < 7
3. Propiedad aditiva: Al sumar un mismo numero real a cada miembro de una desigualdad verdadera, se obtiene otra desigualdad verdadera.
Si a < b entonces a + c < b + c
Ejemplo:
Si 2 < 4 entonces 2 + 7 < 4 + 7, ya que 9 < 11
4. Propiedad multiplicativa: Al multiplicarse cada miembro de una desigualdad verdadera por un mismo número positivo se obtiene otra desigualdad verdadera.
Si a < b y "c" es un numero positivo, entonces ac < bc
Ejemplo:
Si 2 < 4 entonces 2 x 7 < 4 x 7, ya que 14 < 28
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